8. 设 $k\leq m\leq n$. 怎样的矩阵 $A\in M_{m,n}$ 的每条对角线恰好含有 $k$ 个零元素?

 

 

解答: 由定理 2.5 (K\"onig), $A$ 的每条对角线都含有 $k$ 个零元素 $\lra$ $A$ 有一个 $r\times s$ 的零子矩阵, $r+s=n+k$; $A$ 有一条对角线含有 $k+1$ 个零元素 $\lra$ $A$ 的任一 $r\times s$ 阶子矩阵非零, $r+s=n+k+1$. 于是 $A$ 的每条对角线恰含有 $k$ 个零元素, 当且仅当 $$\bex A=P^T \sex{\ba{cc} 0_{r,s}&B\\ C&D \ea}P, \eex$$ 其中 $r+s=n+k$, $P$ 为任一置换阵, $B,C,D$ 的每一元素 $\neq 0$.